Diferencijalna jednadžba je matematička jednadžba koja se odnosi neku funkciju sa svojim derivatima . U slučajevima primjene, funkcije obično predstavljaju fizikalnih veličina, derivati ​​predstavljaju njihove stope promjene, a jednadžba definira odnos između ta dva. Budući da takvi odnosi su vrlo česte, diferencijalne jednadžbe igrati važnu ulogu u mnogim disciplinama, uključujući inženjering , fizike , ekonomije i biologije .

U čiste matematike , diferencijalne jednadžbe su proučavali iz nekoliko različitih perspektiva, uglavnom se bave svojim rješenjima-set funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu. Samo najjednostavnije diferencijalne jednadžbe su rješivi eksplicitnim formulama; Međutim, neka svojstva otopina danog diferencijalne jednadžbe mogu se odrediti bez nalaz njihov točan oblik.

Ako je self-sadržane formula za rješenje nije dostupan, otopina se može numerički aproksimirati pomoću računala. Teorija dinamički sustavi stavlja naglasak na kvalitativnu analizu sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama, a mnogi su numeričke metode razvijene su kako bi se utvrdilo rješenja s određenom točnošću.Povijest [ uredi ]

Diferencijalne jednadžbe prvi put došao u postojanje s izum račun od strane Newtona i Leibniza . U 2. poglavlju njegove 1671 rad "Metodija fluxionum et Serierum Infinitarum", [1] Isaac Newton navedene tri vrste diferencijalne jednadžbe:

 {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x)} {\ Frac {dy} {dx}} = f (x)

 {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = f (x, y)} {\ Frac {dy} {dx}} = f (x, y)

 {\ displaystyle x_ {1} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {2}}} = y} x_ {1} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {1}}} + x_ {2} {\ frac {\ djelomična y} {\ djelomična x_ {2}}} = y

On rješava ove primjere i drugi koriste beskonačnu seriju i raspravlja o ne-jedinstvenost rješenja.

Jakov predložio Bernoullijeva diferencijalna jednadžba u 1695. [2] To je obična diferencijalna jednadžba oblika

 {\ displaystyle y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \,} Y '+ P (x) y = Q (x) y ^ {n} \,

za koji je sljedeće godine Leibniz dobiti rješenja tako da je pojednostavljivanje. [3]

Povijesno gledano, problem vibrirajuću string kao što je to od glazbala proučavana je Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli , te Joseph-Louis Lagrange . [4] [5] [6] [7] U 1746, d'Alembert otkrio jednodimenzionalno valna jednadžba, te u roku od deset godina Euler otkrio trodimenzionalne jednadžbu vala. [8]

Euler-Lagrange jednadžba je razvijen u 1750 Euler i Lagrange u vezi s njihovim studijama o tautochrone problema. To je problem određivanja krivulje na kojoj će ponderirani čestica padne na fiksnu točku u određenom vremenskom razdoblju, neovisno o početnoj točki.

Lagrange riješiti ovaj problem u 1755. i poslao rješenje za Euler. I dalje razvijati Lagrangeov metodu i primijeniti na mehaniku , što je dovelo do stvaranja Lagrangian mehanike .

Fourier je objavio svoj ​​rad na toplinskog toka u Theorie analytique de la chaleur (Analitička teorija topline), [9] u kojoj je temeljio svoju rasu Newtonov zakon hlađenja , naime, da je protok topline između dvaju susjednih molekula proporcionalna izuzetno mala razlika njihovih temperaturama. Sadržane u ovoj knjizi bio je Fourierova prijedlog njegove jednadžbe topline za vodljive difuziju topline. Ova djelomična diferencijalna jednadžba je sada naučio da svaki student matematičkoj fizici.

Primjer [ uredi ]

Na primjer, u klasičnoj mehanici , gibanje tijela opisuje se njezin položaj i brzina kao što je vremenska vrijednost varira. Newtonovi zakoni dopuštaju (s obzirom na položaj, brzina, ubrzanje i razne sile koje djeluju na tijelo) jedan izraziti te varijable dinamički kao diferencijalna jednadžba za nepoznatog položaju tijela kao funkcija vremena.

U nekim slučajevima, to diferencijalna jednadžba (zove se jednadžba gibanja ) može biti riješen eksplicitno.

Primjer modeliranja pravi svjetski problem pomoću diferencijalne jednadžbe je određivanje brzine lopta pada kroz zrak, s obzirom na samo gravitacije i otpor zraka. Ubrzanje loptu je prema tlu je ubrzanje zbog gravitacije minus ubrzanje zbog zraka otpora.

Gravitacija se smatra konstantnom, a otpor zraka može se modelirati kao proporcionalna loptu u brzini. To znači da je lopta je ubrzanje, što je derivat njegove brzine, ovisi o brzini (i brzina ovisi o vremenu). Pronalaženje brzine kao funkciju vremena uključuje rješavanja diferencijalne jednadžbe i provjere njegove valjanosti.

Vrste [ uredi ]

Diferencijalne jednadžbe može se podijeliti u nekoliko vrsta. Osim opisivanja svojstava same jednadžbe, ove klase diferencijalnih jednadžbi može pomoći obavijestiti izbor pristupa do rješenja. Često korišteni razlike uključuju li je jednadžba: Obična / Djelomična, Linearni / Nelinearna i Homogena / nehomogeno. Ovaj popis je daleko od iscrpan; postoje mnoge druge osobine i podklase diferencijalnih jednadžbi koji mogu biti vrlo korisni u određenim situacijama.

Obične diferencijalne jednadžbe [ uredi ]

Glavni članak: Obične diferencijalne jednadžbe